分數

本條目介紹的是數學慨念的分數。關於得分或評分,請見「成績」。
各種各樣的
基本

N Z Q R C {displaystyle mathbb {N} subseteq mathbb {Z} subseteq mathbb {Q} subseteq mathbb {R} subseteq mathbb {C} }

正數 R + {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {R} ^{+}end{smallmatrix}}}
自然數 N {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {N} end{smallmatrix}}}
正整數 Z + {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Z} ^{+}end{smallmatrix}}}
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數 Q {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Q} end{smallmatrix}}}
代數數 A {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {A} end{smallmatrix}}}
實數 R {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {R} end{smallmatrix}}}
複數 C {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {C} end{smallmatrix}}}
高斯整數 Z [ i ] {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Z} [i]end{smallmatrix}}}

負數 R {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {R} ^{-}end{smallmatrix}}}
整數 Z {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Z} end{smallmatrix}}}
負整數 Z {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Z} ^{-}end{smallmatrix}}}
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數 Z [ ω ] {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {Z} [omega ]end{smallmatrix}}}

延伸

雙複數
四元數 H {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {H} end{smallmatrix}}}
共四元數
八元數 O {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {O} end{smallmatrix}}}
超數
上超實數

超複數
十六元數 S {displaystyle {egin{smallmatrix}mathbb {S} end{smallmatrix}}}
複四元數
大實數
超實數 R {displaystyle {egin{smallmatrix}{}^{star }mathbb {R} end{smallmatrix}}}
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  π {displaystyle {egin{smallmatrix}pi end{smallmatrix}}}  = 3.141592653…
自然對數的底 e {displaystyle {egin{smallmatrix}eend{smallmatrix}}}  = 2.718281828…
虛數單位 i {displaystyle {egin{smallmatrix}iend{smallmatrix}}}  =  + 1 {displaystyle {egin{smallmatrix}+{sqrt {-1}}end{smallmatrix}}}
無窮大 {displaystyle {egin{smallmatrix}infty end{smallmatrix}}}

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

分數(fraction)是用分式(分數式)表達成 a b {displaystyle {frac {a}{b}}} 的數( a , b Z , b 0 {displaystyle a,bin Z,b eq 0} )。在上式之中, b {displaystyle b} 稱為分母(Denominator)而 a {displaystyle a} 稱為分子(Numerator),可視為某件事物平均分成 b {displaystyle b} 份中佔 a {displaystyle a} 分,讀作「 b {displaystyle b} 分之 a {displaystyle a} 」。中間的線稱為分線分數線。有時人們會用 a / b {displaystyle a/b} 來表示分數。

用法

分數有各種不同的用法與意義:

  • 兩個整數的比例 a b a : b   ( a , b Z , a , b 0 ) {displaystyle {frac {a}{b}}equiv a:b (a,bin mathbb {Z} ,a,b eq 0)}  ,這是兩個數量的比較關係。
  • 有理數:可以表達為分數的數稱為有理數。就數系來說,分數與有理數是同義詞。
  • 整數除法 a b a ÷ b   ( a , b Z , b 0 ) {displaystyle {frac {a}{b}}equiv adiv b (a,bin mathbb {Z} ,b eq 0)}  ,結果會是一個整數有限小數循環小數
  • 等分: 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}}   表示將全部分成三等份,然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction),參見古埃及分數 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}}   也就是 3 {displaystyle 3}   這個整數的倒數

這些概念在數學裡都是相通的,只是在不同的使用場合中有其實際意義的區分。

分類

最簡分數(既約分數)(Irreducible Fraction)
分子是整數,分母是正整數,且分子和分母互質的分數。例如: 4   15   {displaystyle {frac {4}{~{}15~{}}}}  
真分數(Proper Fraction)
除商小於1、大於0的分數,即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候,分母越大則值就越小,當分母一樣的時候,分子越大,數值就越大。例如: 3   7   {displaystyle {frac {3}{~{}7~{}}}}  
假分數(Top-heavy/Improper Fraction)
假分數是指除商不小於1的分數,即分子等於或大於分母的分數,可寫成帶分數。例如: 5   2   {displaystyle {frac {5}{~{}2~{}}}}  
帶分數(Mixed Numeral)
一個整數加一個真分數,例如 d a b {displaystyle d{frac {a}{b}}}  ,讀作「d又b分之a」;又例如 1 1   2   {displaystyle 1{frac {1}{~{}2~{}}}}  ,就是一又二分之一。可寫成假分數,與   ( d × b ) + a   b {displaystyle {frac {~{}(d imes b)+a~{}}{b}}}  等價。
十進位分數(decimal fraction)
分母為 10 {displaystyle 10}   的次方的分數稱為十進位分數,通常使用小數的形式來表達,例如, 1 100 {displaystyle {frac {1}{100}}}   一般記為 0.01 {displaystyle 0.01}  ,也可以百分率簡記為 1 % {displaystyle 1\%}  ,或是以 10 {displaystyle 10}  記為 10 2 {displaystyle 10^{-2}}  
單位分數:分子為1,分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如: 1   99   {displaystyle {frac {1}{~{}99~{}}}}  
古埃及分數(Egyptian fraction)
將分數表達成單位分數之和。例如: 19   20   = 1   2   + 1   3   + 1   9   + 1   180   {displaystyle {frac {19}{~{}20~{}}}={frac {1}{~{}2~{}}}+{frac {1}{~{}3~{}}}+{frac {1}{~{}9~{}}}+{frac {1}{~{}180~{}}}}  
繁分數:分子和/或分母包含了分數,例如   a   b     c   d   {displaystyle {frac {~{}{frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{frac {c}{~{}d~{}}}}}  。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化,即前面的式子等如 a d   b c   {displaystyle {frac {ad}{~{}bc~{}}}}  
連分數:外觀如 x = a 0 + 1   a 1 + 1   a 2 + 1   a 3 + {displaystyle x=a_{0}+{frac {1}{~{}a_{1}+{frac {1}{~{}a_{2}+{frac {1}{~{}a_{3}+dots }}}}}}}  的分數,其中ai是整數。若只有有限個ai非零,則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般,跟從互聯律結合律分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後,其分數與原來之分數的值相等,稱為等值分數。

約分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。 約分後的分數和原來分數的值相等。

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。 擴分後的分數和原來分數的值相等。

通分

「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分別化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如:

1 4 + 1 3 = 3 12 + 4 12 = 3 × 1 12 + 4 × 1 12 = ( 3 + 4 ) × 1 12 = 7 × 1 12 = 7 12 {displaystyle {frac {1}{4}}+{frac {1}{3}}={frac {3}{12}}+{frac {4}{12}}=3 imes {frac {1}{12}}+4 imes {frac {1}{12}}=(3+4) imes {frac {1}{12}}=7 imes {frac {1}{12}}={frac {7}{12}}}  

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有,里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算,更為驚奇的是,中國當時還出現了分數乘法,例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的逆函數,故此計算時一般將被除數化成其倒數,把除法改為乘法較為方便。例如:

1 5 ÷ 7 11 = 1 5 × 11 7 = 1 × 11 5 × 7 = 11 35 {displaystyle {frac {1}{5}}div {frac {7}{11}}={frac {1}{5}} imes {frac {11}{7}}={frac {1 imes 11}{5 imes 7}}={frac {11}{35}}}  

相關話題

外部連結