方塊矩陣

線性代數
向量 · 矩陣  · 行列式  · 線性空間

方塊矩陣,或簡稱方陣[1],是行數及列數皆相同的矩陣。由矩陣組成的集合,連同矩陣加法矩陣乘法,構成。除了,此環並不是交換環

M(n, R),即實方塊矩陣環,是個實有單位的結合代數。M(n, C),即複方塊矩陣環,則是複結合代數。

單位矩陣的對角線全是1而其他位置全是0,對所有矩陣矩陣都有。 例如,若

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣非奇異方陣矩陣是可逆當且僅當存在矩陣使得

此時稱為逆矩陣,並記作。 所有矩陣在乘法上組成一個(亦是一個李群),稱為一般綫性群

若數字和非零向量滿足,則的一個特徵向量,是其對應的特徵值。數字的特徵值當且僅當可逆,又當且僅當。這裏,特徵多項式。特徵多項式是一個次多項式,有個復根(考慮重根),即個特徵值。

方塊矩陣行列式是其個特徵值的積,但亦可經由萊布尼茨公式計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣。

高斯-若爾當消元法非常重要,可以用來計算矩陣的行例式,秩,逆矩陣,並解決綫性方程組

矩陣的跡是矩陣的對角線元素之和,也是其個特徵值之和。

所有正交矩陣都是方塊矩陣。

方塊矩陣的等價命題

線性代數中,下列關於方塊矩陣A的命題是等價的(同時成立,或同時不成立):

  1. A 可逆;A反矩陣存在。
  2. det(A)≠ 0.
  3. rank(A)= n.
  4. Null(A) = 0.
  5. A的特徵值中沒有0。
  6. 對任意b屬於FnAx = b有唯一解。
  7. Ax = 0只有平凡解。
  8. ATA可逆。
  9. A與單位矩陣行(列)等價。
  10. A的行向量或列向量張成Fn.
  11. A的零空間只有零向量。
  12. A的值域為Fn.
  13. A的行(列)向量構成Fn (Fn)中向量的線性無關集。

這裡,F為矩陣元素所屬的。通常,這個域為實數域或複數域。

  1. ^ [1]國家教育研究院(繁體中文)