曲線

曲線的普通定義就是在幾何空間中的「彎曲了的線」。而直線是一種特殊的曲線,只不過它的曲率為零。在《解析幾何》中,曲線用一組連續函數的方程組來表示。

曲線和直線都是指歐幾里得幾何所定義的歐幾里得空間中的相關概念。此外,還存在多種不為多數人所知的非歐幾里得幾何,其中的直線和曲線的定義和歐幾里得幾何的定義有很大差別,甚至不能類比。想深入學習數學的人切忌將不同幾何空間中的同名概念相互混淆。

歷史

定義

平面曲線

數學上,一條曲線的定義為:

I為一實數區間,即實數集的非空子集,那麼曲線c就是一個連續函數c : IX的映像,其中X為一個拓撲空間。

我們常遇到的平面曲線的拓撲空間為 

空間曲線

常見曲線

請參見曲線列表

曲線方程

請參閱參數方程

一般來說,當在 下一些符合一條方程集合組成一條曲線時,那方程就叫那曲線的曲線方程

例如, 是單位的曲線方程,因為有且僅有單位圓上的點符合這條方程;因這些點組成一個單位圓,故該方程正代表著平面上的單位圓。

曲線的長度

平面曲線

若一條平面曲線可表達成標準方程 ,那麼它的長度就是:

 

其中   的上下限。

若平面曲線可表達成參數方程 。,那麼它的長度就是:

 

其中   的上下限。

空間曲線

外部連結