正二十面體

正二十面體

(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面體
20
30
頂點 12
歐拉特徵數 F=20, E=30, V=12 (χ=2)
面的種類 正三角形
面的布局英語Face configuration 20{3}
頂點圖 3.3.3.3.3
施萊夫利符號 {3,5} and s { 3 3 } {displaystyle s{egin{Bmatrix}33end{Bmatrix}}}
對稱群 5
參考索引 U22, C25, W4
對偶 正十二面體
二面角 138.189685°
特性 三角面多面體

3.3.3.3.3
頂點圖

(展開圖)

正二十面體是一種正多面體,由20正三角形組成。同時,它也是柏拉圖立體、三角面多面體以及康威多面體。正二十面體是所有五種正多面體面數最多的。

正二十面體有203012頂點,其對偶正十二面體。它的頂點布局為3.3.3.3.3或35,在施萊夫利符號中可用{3,5}來表示。

與正十二面體的關係

在平面上,正多邊形內接到時,數越多,佔圓面積的百分比就越高;而在三維空間中,這個規則卻不可推廣——當正十二面體和正二十面體內接到一個時,前者約佔66.4909%,後者僅佔60.5461%。

 
正十二面體正二十面體對偶多面體

體積與表面積

若有一個邊長為a的正二十面體,則它的外接球(同時過該正二十面體所有頂點的球)的半徑為:

r u = a 2 φ 5 = a 4 10 + 2 5 = a sin 2 π 5 0.9510565163 a {displaystyle r_{u}={frac {a}{2}}{sqrt {varphi {sqrt {5}}}}={frac {a}{4}}{sqrt {10+2{sqrt {5}}}}=asin {frac {2pi }{5}}approx 0.9510565163cdot a}   A019881

則有內切球(同時和該正二十面體所有面相切的球)的半徑為:

r i = φ 2 a 2 3 = 3 12 ( 3 + 5 ) a 0.7557613141 a {displaystyle r_{i}={frac {varphi ^{2}a}{2{sqrt {3}}}}={frac {sqrt {3}}{12}}left(3+{sqrt {5}} ight)aapprox 0.7557613141cdot a}   A179294

另外,若有一個球同時過該正二十面體所有邊的中點,那它的半徑為:

r m = a φ 2 = 1 4 ( 1 + 5 ) a = a cos π 5 0.80901699 a {displaystyle r_{m}={frac {avarphi }{2}}={frac {1}{4}}left(1+{sqrt {5}} ight)a=acos {frac {pi }{5}}approx 0.80901699cdot a}   A019863

其中φ (也稱作τ)為黃金比例

體積與表面積

若用A表示表面積V表示體積,而a是正二十面體的邊長,則有:

A = 5 3 a 2 8.66025404 a 2 , {displaystyle A=5{sqrt {3}}a^{2}approx 8.66025404a^{2},}   A010527
V = 5 12 ( 3 + 5 ) a 3 2.18169499 a 3 . {displaystyle V={frac {5}{12}}(3+{sqrt {5}})a^{3}approx 2.18169499a^{3}.}   A102208

後者F=20約為正四面體的20倍,因為20面體以外接球球新為中心可以切割出20個四面體,其中的四面體的體積是底面積的三分之一倍,ri是高的 √3a2/4倍。

的外接球體的體積填充率是:

f = V / ( 4 π r u 3 / 3 ) = 20 ( 3 + 5 ) ( 2 5 + 10 ) 3 / 2 π 0.6054613829. {displaystyle f=V/(4pi r_{u}^{3}/3)={frac {20(3+surd 5)}{(2surd 5+10)^{3/2}pi }}approx 0.6054613829.}  

直角坐標系

 
正二十面體的頂點能共同分成五組,每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形。

在直角坐標系中,一個邊長為二、重心在圓點的正二十面體的坐標分別為:[1]

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
φ, 0, ±1)

其中φ = 1 + 5/2黃金比例(或記為τ)。值得注意的是,這些頂點能共同形成五組,每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形,其形成博羅梅安環英語Borromean rings,其中,前者是因為正二十面體與黃金比例有密切的關係。 如果原始的二十面體的邊長為1,那麼它的對偶——正十二面體的邊長就是5 − 1/2,正好是一個黃金比例

 
一個由塑膠棒和磁鐵與金屬球連接的正二十面體模型

12條邊的一個正八面體可以被細分在黃金比例,使所得到的頂點可構成一個正二十面體。這首先要使沿著八面體邊的向量連成一個有界的環,再沿著向量的方向以黃金比例作分割。

球面坐標

正二十面體是一個D5d二面體對稱對稱的一個雙五角錐反角柱,且頂點可以定義在球面坐標繫上,其中兩個頂點在球的兩極,其餘在緯度±arctan(1/2)的位置。可以發現剩餘的10頂點屬於反稜柱對稱,從一個定點,經度每36°做一次極軸與赤道鏡射,直到回到原始點。

與黃金分割的關係

若以正二十面體的中心為原點,各頂點的坐標分別為{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)},在此Φ = 5 − 1/2,即黃金分割數。因此,這些頂點能共同形成五組,每組擁有三個同心、相互垂直的黃金矩形

正交投影

正二十面體有3種特殊的正交投影,分別正對著一個面、一條棱、一個頂點。

正交投影
正對於 頂點
考克斯特平面英語Coxeter plane A2 A3 H3
圖像      
投影
對稱性
[6] [2] [10]
圖像  
面法線
 
棱法線
 
對角線

其它事實

  • 正二十面體有43,380種不同的展開圖
  • 若要將正二十面體的表面塗色而相鄰的面的顏色不同,則至少需要3種顏色。
  • 內接與同一球的正二十面體和正十二面體,正二十面體所占球的體積(60.54%)要小於正十二面體所占的體積(66.49%)。

通過一系列等夾角線段構造正二十面體

 
正二十面體
H3考克斯特平面
 
六維正軸體英語6-orthoplex
D6考克斯特平面
這個操作可以以幾何的觀點被看作六維正軸體的12個頂點投影到三維空間。這代表著一個D6到H3考克斯特群幾何摺疊英語Coxeter–Dynkin diagram#Geometric_folding 

見這些二維考克斯特平面英語Coxeter plane正交投影,中間投影后重合的兩個頂點給出了這個圖像中的第三根軸

以下構建正二十面體的方法避免了使用更基礎的方法時必要的在數域 Q [ 5 ] {displaystyle mathbb {Q} [{sqrt {5}}]}  中的複雜計算。
正二十面體的存在性依賴於 R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}}  中6條等夾角線的存在性。事實上,我們很容易便可以發現,這樣一組等夾角線與歐幾里得空間中的球心在等夾角線所共的交點的球相交,得出的交點即是一個正二十面體的12個頂點。從相反方向考慮,假設這裡存在一個正二十面體,它的6對相對頂點的連線(對角線)就形成了那樣一個等夾角線系統。
為了構建這樣一個等夾角線系統,我們開始於一個6×6方形矩陣

A = ( 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 ) . {displaystyle A=left({egin{array}{crrrrr}0&1&1&1&1&11&0&1&-1&-1&11&1&0&1&-1&-11&-1&1&0&1&-11&-1&-1&1&0&11&1&-1&-1&1&0end{array}} ight).}  

通過直接的計算,我們可以得出A2=5I(在這裡I是6×6單位矩陣)。這表明矩陣I的特徵值是√5和-√5,並且它們的複雜性都是3,因為A是對稱的,並且它的是0。
矩陣 A + 5 I {displaystyle scriptstyle A+{sqrt {5}}I}  商空間 R 6 / ker ( A + 5 I ) {displaystyle mathbb {R} ^{6}/ker(A+{sqrt {5}}I)}  中引出了一個同構 R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}}  歐幾里得結構因為它的 ker ( A + 5 I ) {displaystyle ker(A+{sqrt {5}}I)}  是三的。在 R 6 {displaystyle mathbb {R} ^{6}}  中,它的六條坐標軸線 R v 1 , , R v 6 {displaystyle mathbb {R} v_{1},dots ,mathbb {R} v_{6}}  投影 π : R 6 R 6 / ker ( A + 5 I ) {displaystyle pi :mathbb {R} ^{6}longrightarrow mathbb {R} ^{6}/ker(A+{sqrt {5}}I)}  下的圖像形成了這樣一個在 R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}}  中由六條等夾角線組成的系統,它們都相交於一點,兩兩之間都夾著銳角 arccos 1 5 {displaystyle scriptstyle {arccos }{ frac {1}{sqrt {5}}}}  。±v1,...,±v6A的√5-特徵空間的正交投影形成了正二十面體的12個頂點。
正二十面體另一個直接的構造用到了交錯群A5群表示論方法,它直接利用了正二十面體的等距同構

半正塗色和子對稱群

 
正二十面體作為扭棱四面體,可以通過旋轉正四面體的正三角形面,並在4個頂點處插入新的三角形,在原來的6條棱處插入新的一對三角形來構造

作為正多面體之一,正二十面體擁有較高的對稱性,它的所有面在幾何上都是相同的,不可區分的。可是我們也可以想像將正二十面體的面「塗上」不同的「顏色」,使它其的不同面擁有不同的「幾何意義」,使其擁有不同的次級對稱性。正二十面體有三種不同的半正塗色方法,可以按照一個頂點引出的5個面的塗色來標記為11213、11212、11111。正二十面體可以被描述為扭棱英語Snub (Geometry)正四面體,具有手征性正四面體對稱性英語tetrahedral symmetry;它亦可以被描述成交錯截頂正八面體,有五角十二面體對稱性英語pyritohedral symmetry。這個具有五角十二面體對稱的正二十面體也被叫做偽二十面體是五角十二面體的對偶。

名稱 正二十面體 交錯
截頂八面體
扭棱英語Snub (Geometry)
正四面體
正五
雙錐反柱體
考克斯特-迪肯英語Coxeter-Dynkin diagram                  
施萊夫利符號 {3,5} h0,1{3,4} s{3,3}
Wythoff符號英語Wythoff symbol 5 | 3 2 | 3 3 2
對稱性英語List of spherical symmetry groups Ih
[5,3]
(*532)
Th
[3+,4]
(3*2)
T
[3,3]+
(332)
D5d
[2+,10]
(2*5)
對稱群階 60 24 12 10
半正塗色  
(11111)
 
(11212)
 
(11213)
 
(11122)&(22222)

與其它幾何圖形的關係

正二十面體是正二十面體家族的一員:

正二十面體家族半正多面體
對稱群: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面體對偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

作為扭棱正四面體和交錯截頂正八面體,正二十面體也是正四面體家族和正八面體家族的一員:

正四面體家族半正多面體
對稱性: [3,3], (*332) [3,3]+, (332)
                                               
               
{3,3} t0,1{3,3} t1{3,3} t1,2{3,3} t2{3,3} t0,2{3,3} t0,1,2{3,3} s{3,3}
半正多面體對偶
                                               
               
V3.3.3 V3.6.6 V3.3.3.3 V3.6.6 V3.3.3 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3.3
半正正八面體家族多面體
對稱性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3

正二十面體在拓撲上與其它一系列的正三角形鑲嵌{3,n}和一系列的五階正鑲嵌{n,5}相關聯:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
 
{3,2}
 
{3,3}
 
{3,4}
 
{3,5}
 
{3,6}
 
{3,7}
 
{3,8}
 
{3,9}
...  
{3,∞)
球面鑲嵌 雙曲面鑲嵌
 
{2,5}
     
 
{3,5}
     
 
{4,5}
     
 
{5,5}
     
 
{6,5}
     
 
{7,5}
     
 
{8,5}
     
...  
{∞,5}
     

正二十面體和三個星形正多面體有著相同的頂點排布。其中與大十二面體還有相同的棱排布:

圖像  
大十二面體
 
小星形十二面體
 
大二十面體
考克斯特-迪肯符號英語Coxeter-Dynkin diagram                        

雖然由於正二十面體的二面角太大(約138.189685°>120°),因此正二十面體不可能密鋪三維歐幾里得空間,但它可以密鋪適當的雙曲空間,稱為三階正二十面體堆砌英語Icosahedral honeycomb,每條棱處有三個正二十面體相交,每個頂點處有12個正二十面體相交,應此頂點圖正十二面體施萊夫利符號{3,5,3},是四個三維雙曲空間中的正堆砌之一。

 
這裡我們用龐加萊圓盤模型上的線架來表示它,中心的正十二面體被塗上了顏色。
類別 正多面體 卡塔蘭立體
種子  
{3,3}
 
{4,3}
 
{3,4}
 
{5,3}
 
{3,5}
 
aC
 
aD
倒角  
cT
 
cC
 
cO英語Chamfered octahedron
 
cD
 
cI
 
caC
 
caD

應用

 
二十骰子
 
電子顯微鏡下觀察的原子
 
γ-硼的結構

由於正二十面體非常均勻,且有20個面,因此適合作成骰子。

在生物學中

某些病毒,如皰疹病毒科,擁有正二十面體的衣殼[2][3]在有些細菌中還發現一些具有二十面體形狀的各種細菌胞器[4]還有二十面體的殼包住的使不穩定的活化複合體得以建構BMC等不同類型的蛋白質

1904年,恩斯特·海克爾發表了一些放射蟲的種類,包括Circogonia二十面體(Circogonia icosahedra),其骨架的形狀像一個正二十面體。

參考文獻

  1. ^ MathWorldIcosahedral group的資料,作者:埃里克·韋斯坦因
  2. ^ C. Michael Hogan. 2010. Virus. Encyclopedia of Earth. National Council for Science and the Environment. eds. S. Draggan and C. Cleveland
  3. ^ [1]
  4. ^ Bobik, T.A., Bacterial Microcompartments, Microbe (Am. Soc. Microbiol.), 2007, 2: 25–31