正十二面體

正十二面體
正十二面體
(按這裡觀看旋轉模型)
類別 正多面體
12
30
頂點 20
歐拉特徵數 F=12, E=30, V=20 (χ=2)
面的種類 正五邊形
面的布局英語Face configuration 12{5}
頂點圖 5.5.5
施萊夫利符號 {5,3}
對稱群 3
參考索引 U23, C26, W5
對偶 正二十面體
二面角 116.56505° = arccos(-1/√5)
特性 多面體
Dodecahedron vertfig.png
5.5.5
頂點圖
Dodecahedron flat.svg
(展開圖)

正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體,它共有20個頂點、30條棱、160條對角線,被施萊夫利符號{5,3}所表示,與正二十面體互成對偶。它是一種只具有正四面體對稱性英語tetrahedral symmetry的五角十二面體的特殊形式,五角十二面體的另一種特殊形式是具有正八面體對稱性英語Octahedral Symmetry的卡塔蘭多面體菱形十二面體,它(加上所有其它的五角十二面體)都與正十二面體在拓撲上等價。正十二面體還是截頂五方偏方面體的特例。其四維類比為正一百二十胞體

Uniform polyhedron-53-t0.png
十二面體
Dodekaeder-Animation.gif
正十二面體是正二十面體對偶多面體

性質

面的圖形:正五邊形
面的數目:12
邊的數目:30
頂點數目:20
二面角角度: 
如果正十二面體棱長為a:
表面積: 
體積: 
外接球半徑: 
內切球半徑: 
中交球半徑: 

  • 我們亦可以將上述三式寫作:
外接球半徑: 
內切球半徑: 
中交球半徑: 
(在這裡φ是黃金分割數,φ = 1+√5/2
  • 注意到棱長為a的正十二面體的外接球同樣外接於棱長為φa的立方體,並且其內切球半徑(也即面心距)等於棱長為φa的正五邊形的邊心距

對偶多面體:正二十面體

坐標系

 
頂點坐標:
     橙色的頂點位於(±1, ±1, ±1),形成了其一個內接立方體(虛線所示)。
     綠色的頂點位於(0, ±1/φ, ±φ),形成了yz平面上的一個黃金矩形
     藍色的頂點位於(±1/φ, ±φ, 0),形成了xy平面上的一個黃金矩形
     粉色的頂點位於(±φ, 0, ±1/φ),形成了xz平面上的一個黃金矩形
相鄰頂點間的距離是2/φ,頂點到原點的距離是√3.
φ = (1 + √5) / 2是黃金分割數。

如果我們以正十二面體的形心為原點建立三維直角坐標系,那麼其20個頂點可被描述為:
(0,±1/φ,±φ)
(±1/φ,±φ,0)
(±φ,0,±1/φ)
(±1,±1,±1)
其中φ = (1+√5)/2,是黃金分割數,也被寫作τ,約等於1.618。
該正十二面體棱長為2/φ=√5–1。其內接球半徑正好為√3。

二維投影和對稱性

正十二面體有兩種特殊的正交投影,分別正對著其一個頂點和一個正五邊形面,對應著A2和H2考克斯特平面英語Coxeter plane

正交投影
正對於 頂點
圖像 Dodecahedron t0 A2.png  Dodecahedron t0 e.png  Dodecahedron t0 H3.png 
投影
對稱性
[[3]] = [6] [2] [[5]] = [10]

透視投影中,如果如果投影中心正在正十二面體外接球正對其一面的一點,則你能得到其施萊格爾圖像英語schlegel diagram,我們亦可以將其視為球面多面體英語Spherical polyhedron而使用球極投影。這些方法也被用於可視化其四維類比正一百二十胞體,一個由120個全等的正十二面體組成的四維凸正多胞體

投影 正交投影 透視投影
施萊格爾圖像英語schlegel diagram 球極投影
正十二面體 Dodecahedron t0 H3.png  Dodecahedron schlegel diagram.png  Dodecahedron stereographic projection.png 
正120胞體 120-cell t0 H3.svg  Schlegel wireframe 120-cell.png  Stereographic polytope 120cell faces.png 

幾何關聯

  • 正十二面體是一個無窮家族——截頂偏方面體的第3個成員(截頂五偏方面體)。這類多面體可以被看作是將偏方面體在旋轉對稱軸上的兩個相對的頂點截去而成。
  • 正十二面體的星形化體英語Stellation構成了4個星形正多面體中的3個。
  • 我們可以在正十二面體的20個頂點中選取5組這樣的頂點,使任意兩個頂點的連線都是正十二面體正五邊形面的一條對角線,這樣能構成正十二面體的內接立方體,5個內接立方體一起構成了——複合多面體——五複合立方體;我們還可以進一步對內接立方體做交錯操作,得到正十二面體的內接正四面體,如果我們只在內接立方體中取一個正四面體,則5個正四面體構成了有手征性的複合多面體——五複合四面體;如果取兩個,則10個正四面體構成了複合多面體——十複合四面體,這三個複合多面體都是正十二面體的小面化體英語faceting
  • 正十二面體的完全對稱群是正二十面體對稱群英語Icosahedral symmetryIh考克斯特群[5,3],群階120,還有一個抽象群結構A5×Z2

與其對偶——正二十面體的關係

  • 當正十二面體和正二十面體內接於同一球時,儘管正二十面體有更多的面,但正十二面體占據球的體積(66.49%)要多於正二十面體占據的球的體積(60.54%),這一點與二維不同。
  • 棱長相同為1的正十二面體的體積(7.663...)是正二十面體體積(2.181...)的三倍半多。

相關多面體

正十二面體在拓撲上與一系列三階正鑲嵌(頂點圖n3)有關:

多面體 歐式鑲嵌 雙曲鑲嵌
Spherical trigonal hosohedron.png 
{2,3}
CDel node 1.png CDel 2.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
Uniform polyhedron-33-t0.png 
{3,3}
CDel node 1.png CDel 3.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
Uniform polyhedron-43-t0.png 
{4,3}
CDel node 1.png CDel 4.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
Uniform polyhedron-53-t0.png 
{5,3}
CDel node 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
Uniform polyhedron-63-t0.png 
{6,3}
CDel node 1.png CDel 6.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
H2 tiling 237-1.png 
{7,3}
CDel node 1.png CDel 7.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
H2 tiling 238-1.png 
{8,3}
CDel node 1.png CDel 8.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 
... H2 tiling 23i-1.png 
{∞,3}
CDel node 1.png CDel infin.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png 

正十二面體可以通過不同類型的截取操作來得到一系列不同的半正多面體及其對偶,正二十面體,構成了正二十面體家族:

正二十面體家族半正多面體
對稱群: [5,3], (*532) [5,3]+, (532)
CDel node 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node 1.png CDel 5.png CDel node 1.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node 1.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node 1.png CDel 3.png CDel node 1.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node 1.png  CDel node 1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node 1.png  CDel node 1.png CDel 5.png CDel node 1.png CDel 3.png CDel node 1.png  CDel node h.png CDel 5.png CDel node h.png CDel 3.png CDel node h.png 
Uniform polyhedron-53-t0.png  Uniform polyhedron-53-t01.png  Uniform polyhedron-53-t1.png  Uniform polyhedron-53-t12.png  Uniform polyhedron-53-t2.png  Uniform polyhedron-53-t02.png  Uniform polyhedron-53-t012.png  Uniform polyhedron-53-s012.png 
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面體對偶
CDel node f1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node f1.png CDel 5.png CDel node f1.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node f1.png CDel 3.png CDel node.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node f1.png CDel 3.png CDel node f1.png  CDel node.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node f1.png  CDel node f1.png CDel 5.png CDel node.png CDel 3.png CDel node f1.png  CDel node f1.png CDel 5.png CDel node f1.png CDel 3.png CDel node f1.png  CDel node fh.png CDel 5.png CDel node fh.png CDel 3.png CDel node fh.png 
Icosahedron.svg  Triakisicosahedron.jpg  Rhombictriacontahedron.svg  Pentakisdodecahedron.jpg  Dodecahedron.svg  Deltoidalhexecontahedron.jpg  Disdyakistriacontahedron.jpg  Pentagonalhexecontahedronccw.jpg 
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5

頂點分布

正十二面體與4個星形半正多面體英語nonconvex uniform polyhedron和上述3個複合半正多面體有同樣的頂點分布:

Great stellated dodecahedron.png 
大星形十二面體
Small ditrigonal icosidodecahedron.png 
小雙三斜三十二面體
Ditrigonal dodecadodecahedron.png 
雙三斜二十四面體
Great ditrigonal icosidodecahedron.png 
大雙三斜三十二面體
Compound of five cubes.png 
五複合立方體
Compound of five tetrahedra.png 
五複合四面體
Compound of ten tetrahedra.png 
十複合四面體

星形化體

正十二面體的3個星形化體英語stellation都是星形正多面體(克卜勒-普索多面體):

0 1 2 3
星形化體 Dodecahedron.png 
正十二面體
Small stellated dodecahedron.png 
小星形十二面體
Great dodecahedron.png 
大十二面體
Great stellated dodecahedron.png 
大星形十二面體
表面圖形 Zeroth stellation of dodecahedron facets.svg  First stellation of dodecahedron facets.svg  Second stellation of dodecahedron facets.svg  Third stellation of dodecahedron facets.svg 

倒角多面體

類別 正多面體 卡塔蘭立體
種子 Uniform polyhedron-33-t0.png 
{3,3}
Uniform polyhedron-43-t0.png 
{4,3}
Uniform polyhedron-43-t2.png 
{3,4}
Uniform polyhedron-53-t0.png 
{5,3}
Uniform polyhedron-53-t2.png 
{3,5}
Dual cuboctahedron.png 
aC
Dual icosidodecahedron.png 
aD
倒角 Alternate truncated cube.png 
cT
Truncated rhombic dodecahedron2.png 
cC
Chamfered octahedron.png 
cO英語Chamfered octahedron
Truncated rhombic triacontahedron.png 
cD
Chamfered icosahedron.png 
cI
Chamfered rhombic dodecahedron.png 
caC
Chamfered rhombic triacontahedron.png 
caD

相關數學問題

  • 哈密頓路徑的理論就是源自一個和正十二面體有關的問題:試求一條路徑,沿正十二面體的棱經過它所有的頂點。

真實世界

  • 因為一年有12個月,正十二面體正好用來製作月曆。[1]
  • Pariacoto virus的形狀結構是正十二面體。
  • 英國匈牙利,至到義大利東部等地,找到過百個形狀接近十二面體、以或石頭製造的空心物件。它們被稱為Dodecaeder,用途不明。[2][3]
  • 五魔方(Megaminx)就是正十二面體製作出來的魔方。
 
正十二面烷

化學:

參考文獻

  1. ^ 12 sided calendar ii.uib.no
  2. ^ Roman Dodecahedra georgehart.com
  3. ^ Dodecaeder museums.ncl.ac.uk
  4. ^ Dodecahedrane—The chemical transliteration of Plato's universe pubmedcentral.nih.gov
  1. MathWorldDodecahedron的資料,作者:埃里克·韋斯坦因
  2. MathWorldElongated Dodecahedron的資料,作者:埃里克·韋斯坦因
  3. Richard Klitzing, 3D convex uniform polyhedra, o3o5x – doe
  4. Editable printable net of a dodecahedron with interactive 3D view
  5. The Uniform Polyhedra
  6. Origami Polyhedra – Models made with Modular Origami
  7. Dodecahedron – 3-d model that works in your browser
  8. Virtual Reality Polyhedra The Encyclopedia of Polyhedra
    1. Regular dodecahedron regular
    2. Rhombic dodecahedron quasiregular
    3. Decagonal prism vertex-transitive
    4. Pentagonal antiprism vertex-transitive
    5. Hexagonal dipyramid face-transitive
    6. Triakis tetrahedron face-transitive
    7. hexagonal trapezohedron face-transitive
    8. Pentagonal cupola regular faces
  9. K.J.M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra
  10. Dodecahedron 3D Visualization
  11. Stella: Polyhedron Navigator: Software used to create some of the images on this page.